散らばりの指標(分散・標準偏差・四分位)

データの『広がり』を表す指標。分散・標準偏差・四分位範囲は計算問題で必出です。

胡桃 あんず

平均が同じでも、データのバラつきが違うとイメージ全然違うよね。

若葉 みどり 先生

そう、それを定量化するのが分散?
と標準偏差?
。
バラつきが大きいほど、これらの値は大きくなるの。

白銀 ゆき

分散?
= Σ(xᵢ - 平均)² / n、標準偏差?
= √分散。
標準偏差は分散と単位を合わせるため平方根を取った値ね。

桜井 もも

二乗するの、忘れちゃいそうです…。
どうして二乗するんですかぁ?

白銀 ゆき

符号を打ち消して、大きな差を強調するためよ。
絶対値だと数学的に扱いにくいから、二乗が使われているの。

胡桃 あんず

標準偏差って、よく『SD』とか『σ』って書かれてるやつだよね!

若葉 みどり 先生

母集団の標準偏差をσ(シグマ)?
、標本の標準偏差を s と表記することが多いわ。
サンプルから計算するときは不偏分散?
(n-1で割る)を使うこともあるので注意。

桜井 もも

n-1とnって、何が違うんですかぁ?

白銀 ゆき

母集団全体を扱うときは n、標本から母集団のバラつきを推定するときは n-1 を使うの。
後者を不偏分散?
と呼ぶわ。
本番では問題文の指定に従えば大丈夫よ。

胡桃 あんず

あ、四分位ってのも聞いたことある!

若葉 みどり 先生

四分位?
はデータを下から1/4・2/4・3/4の位置で区切る値のこと。
第1四分位Q1?
・第2四分位Q2?
=中央値・第3四分位Q3?
と呼ぶわ。
Q3-Q1を四分位範囲?
(IQR?
)と呼ぶの。

白銀 ゆき

IQR?
は外れ値に強いバラつき指標。
箱ひげ図?
でビジュアル化できるわ。

桜井 もも

がんばって覚えます♪

データ: {2, 4, 4, 6, 6, 8}  (n = 6)

平均 μ = (2+4+4+6+6+8) / 6 = 30/6 = 5

分散 σ² = ((2-5)² + (4-5)² + (4-5)² + (6-5)² + (6-5)² + (8-5)²) / 6
        = (9 + 1 + 1 + 1 + 1 + 9) / 6
        = 22/6 ≈ 3.67

標準偏差 σ = √3.67 ≈ 1.91

Q1=4, Q2(中央値)=5, Q3=6  →  IQR = 6 - 4 = 2