期待値と分散の計算

確率変数の中心位置(期待値)とバラつき(分散)。確率分布を理解する基礎です。

白峰 リリ

宝くじの期待値ってよく聞くけど、計算するとどうなるの?

神楽 モニカ 先生

いい例。
期待値?
E(X) = Σ(値 × 確率) で、確率変数の『平均的な値』を表すの。

紅林 かえで

宝くじを単純化して、賞金1億円が当たる確率が1/1000万、外れの0円が9,999,999/1000万、1枚300円とするわね。

白峰 リリ

賞金の期待値は 1億 × 1/1000万 = 10円か。
1枚300円かかるんだから、買うほど損する仕組みってことだね!

紅林 かえで

そう、これが期待値?
の使い方。
続いて確率変数?
Xの分散は V(X) = E((X - μ)²) = E(X²) - μ² で計算するわ。

藍沢 しずく

公式が2つもあるんですねぇ。

神楽 モニカ 先生

そう、後者の分散の交換公式?
V(X) = E(X²) - {E(X)}² は計算に便利。

白峰 リリ

分散って単位が元のXの二乗になるから、ちょっと扱いにくいよね。

紅林 かえで

そのために標準偏差?
σ = √V(X) を使うの。
Xと同じ単位になって解釈しやすい。

藍沢 しずく

期待値の性質に、なにか決まりってあるんですかぁ?

神楽 モニカ 先生

よく出るのが {kw('線形性')}よ。
E(aX + b) = a·E(X) + b、E(X+Y) = E(X) + E(Y)ね。
あと V(aX+b) = a²·V(X) (定数bは分散に影響しない)も重要。

紅林 かえで

DS検定では、期待値の線形性を使ったシンプルな計算問題が頻出よ。

藍沢 しずく

線形性、しっかり覚えますぅ♪

サイコロを1回振るときの期待値・分散:
  X ∈ {1,2,3,4,5,6}, 各確率 1/6

  E(X)   = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5
  E(X²)  = (1+4+9+16+25+36)/6 = 91/6 ≈ 15.17
  V(X)   = E(X²) - {E(X)}² = 15.17 - 12.25 = 2.92
  σ(X)  = √2.92 ≈ 1.71