離散型の代表的な確率分布3つ。試験で名前と特徴を問われます。
白峰 リリ
確率分布ってたくさん名前あるよね…どこから覚えればいいの?
神楽 モニカ 先生
まず離散型の3つ、ベルヌーイ分布・二項分布・ポアソン分布から押さえましょう。
紅林 かえで
ベルヌーイ分布は1回試行で成功(1)/失敗(0)の確率分布。
コイントス1回ね。 P(X=1)=p, P(X=0)=1-p。 E(X)=p, V(X)=p(1-p)。
藍沢 しずく
シンプルですねぇ♪
紅林 かえで
二項分布は『ベルヌーイ試行をn回繰り返したときの成功回数X』の分布。 P(X=k) = nCk·pᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ。 E(X)=np, V(X)=np(1-p)。
白峰 リリ
コインを10回投げて表が何回出るか、みたいなやつ?
神楽 モニカ 先生
そうそう。
確率p=0.5、n=10、表回数Xなら E(X)=5回、V(X)=2.5、σ≈1.58になるのよ。 8回以上表が出る確率は?
と問われたら、P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)を計算するの。
紅林 かえで
ポアソン分布は『稀な事象が単位時間にk回起こる確率』。 P(X=k) = e^(-λ)·λᵏ / k!。 E(X)=λ, V(X)=λ。 平均と分散が等しいのが特徴ね。
藍沢 しずく
ポアソンってどんなときに使うんですかぁ?
神楽 モニカ 先生
1日のWebサイト訪問者数、1時間のコールセンター着信数、1ヶ月の事故件数など、稀な事象の発生回数のモデルとして使うのよ。
白峰 リリ
二項分布で n が大きくて p が小さいときは、ポアソン分布で近似できるって聞いたよ!
紅林 かえで
よく知ってるわね。
ポアソンの極限定理って呼ぶのよ。 λ = np とすれば、二項 ≈ ポアソン になるの。
藍沢 しずく
しっかり覚えますぅ♪
二項分布の例: コインを10回投げて表が3回出る確率
P(X=3) = 10C3 · 0.5³ · 0.5⁷
= 120 · (1/8) · (1/128)
= 120 / 1024
≈ 0.117 (約11.7%)
ポアソン分布の例: 1日平均5件のクレーム電話で7件来る確率(λ=5)
P(X=7) = e^(-5) · 5⁷ / 7!
≈ 0.00674 · 78125 / 5040
≈ 0.104 (約10.4%)
確認クイズ
ポアソン分布の特徴として正しいのはどれか。
- 平均と分散が等しい
- 離散型ではなく連続型
- 値の範囲が0と1のみ
- 正規分布と必ず一致する
こたえを見る
正解: 1. 平均と分散が等しい
平均と分散が等しい(共にλ)のがポアソン分布の最大の特徴です。離散型分布で、値は0以上の整数を取り、稀な事象の発生回数モデルとして用いられます。