統計学で最重要の分布、正規分布。中心極限定理がもたらす『なぜ正規分布が普遍的か』を理解します。
白峰 リリ
正規分布ってグラフがベル型のやつでしょ。
なんでこんなに重要なの?
神楽 モニカ 先生
その理由が中心極限定理。
多数の独立な要因の和は正規分布に近づく、という驚くべき性質があるからなの。
紅林 かえで
正規分布 N(μ, σ²) は左右対称・ベル型の分布。 平均μを中心に標準偏差σで広がる。 確率密度関数は f(x) = 1/(σ√2π) · exp(-(x-μ)²/(2σ²))。
藍沢 しずく
式は覚えなくていいんですかぁ?
紅林 かえで
DS検定では細かい式は不要。
覚えるべきは『68-95-99.7ルール』、つまり ±1σで約68%、±2σで約95%、±3σで約99.7%のデータが入る、という性質ね。
白峰 リリ
じゃあ偏差値60って、平均から1σ高いから、上位16%くらいってことか!
神楽 モニカ 先生
その通り。
標準正規分布 N(0,1²) に変換すれば、すべての正規分布は同じ表で扱える。
これをz変換または標準化と呼ぶの。 z = (x-μ)/σ。
藍沢 しずく
中心極限定理って、どういう内容ですかぁ?
神楽 モニカ 先生
『独立同分布な確率変数 X₁, X₂, ..., Xₙ の標本平均は、n→∞で正規分布に近づく』というもの。
元の分布が何であろうと、和や平均の分布は正規になる。
紅林 かえで
だから多くの自然現象(身長・テスト点数・測定誤差)は正規分布に従うように見えるの。
白峰 リリ
なるほど、正規分布が普遍的なのにはちゃんと理由があるんだね。
紅林 かえで
DS検定では『68-95-99.7ルール』『z変換』『中心極限定理の意味』が頻出。 σ=1.5、μ=10で、12以上の確率は?
と問われたら、z=(12-10)/1.5≈1.33、標準正規分布表から求める。
藍沢 しずく
しずく、公式とルールどっちも押さえますぅ♪
テストの平均60点、標準偏差10点(正規分布)。 70点以上の人の割合は? z = (70 - 60) / 10 = 1.0 P(Z > 1.0) ≈ 0.1587 (標準正規分布表より) → 約 15.87% が70点以上 覚えやすい目安(68-95-99.7ルール): ±1σ: 約68% / ±2σ: 約95% / ±3σ: 約99.7%
確認クイズ
中心極限定理の主張として最も正しいものはどれか。
- 全てのデータは元から正規分布に従う
- 標本サイズが大きくなると、母集団の分布形状によらず標本平均は正規分布に近づく
- 正規分布は二項分布から導かれる唯一の分布である
- 標本サイズが小さいほど標本平均は正確になる
こたえを見る
正解: 2. 標本サイズが大きくなると、母集団の分布形状によらず標本平均は正規分布に近づく
標本サイズnが十分大きいとき、母集団の分布によらず標本平均は正規分布に近づく、というのが中心極限定理の主張です。これが推測統計の基盤となります。