母集団のパラメータを標本から推定する2つの方法。区間推定で『どれくらい信頼できるか』を表現します。
白峰 リリ
新聞で『支持率45%(±3%)』みたいな書き方あるよね。
あれって何?
神楽 モニカ 先生
それが区間推定。
点推定は『45%』というピンポイントの値、区間推定は『42〜48%の間に95%の確率で真の値が入る』という幅をもった推定よ。
紅林 かえで
点推定は1つの値を出すシンプルな方法だけど、誤差の情報がない。
信頼区間を併記することで、推定の不確実性を伝えられるの。
藍沢 しずく
95%信頼区間って、95%の確率で正解、ってことですかぁ?
紅林 かえで
厳密には違う解釈なのよ。
『同じやり方で何度もサンプリングして信頼区間を作ったら、そのうち95%が真の値を含む』という頻度論的な意味なの。
信頼水準と呼ぶわ。
白峰 リリ
うーん、ちょっとややこしいなぁ…
神楽 モニカ 先生
実用的には『95%の確からしさで真の値はこの区間内』と考えてOK。
厳密性が問われる試験問題ではこの解釈の違いに注意してね。
紅林 かえで
母平均の95%信頼区間は、x̄ ± 1.96 × σ/√n (σ既知の場合)、または x̄ ± t_(0.025, n-1) × s/√n (σ未知の場合) で計算するわ。
藍沢 しずく
1.96 ってどこから来た数字ですかぁ?
神楽 モニカ 先生
標準正規分布で両側2.5%ずつをカットする臨界値が±1.96。
よって中央95%が含まれる範囲が ±1.96σ になるの。
白峰 リリ
信頼区間が狭いほど、推定が正確、ってこと?
紅林 かえで
その通り。
区間の幅は σ と 1/√n に比例する。
標本サイズnを増やすと区間が縮まる。
検出力分析の出発点でもあるわ。
藍沢 しずく
しずく、ちゃんと覚えますぅ♪
n=100, x̄=170 cm, σ=8 cm のとき母平均の95%信頼区間:
σ/√n = 8/√100 = 0.8
CI = 170 ± 1.96 × 0.8
= 170 ± 1.568
= [168.43, 171.57] cm
n=400に増やすと:
σ/√n = 8/20 = 0.4
CI = 170 ± 0.784 = [169.22, 170.78]
→ 区間は半分の幅に縮まる(σ/√nに比例)
確認クイズ
標本サイズを4倍にすると、母平均の95%信頼区間の幅はどう変わるか。
- 1/4倍に縮む
- 1/2倍に縮む
- 変わらない
- 2倍に広がる
こたえを見る
正解: 2. 1/2倍に縮む
1/2倍に縮む。信頼区間の幅は σ/√n に比例するため、nが4倍になると幅は1/√4=1/2 になります。これが『nを増やすと推定が精緻になる』根拠です。
