ベイズの定理と医療診断問題

条件付き確率を反転させる魔法、ベイズの定理。DS検定で必出の重要トピック。

白峰 リリ

ベイズの定理って、AIでもよく聞くやつだよね。

神楽 モニカ 先生

そう、ベイズの定理?
は条件付き確率を『反転』させる公式で、機械学習・スパムフィルター・医療診断などで広く使われるわ。

紅林 かえで

公式: P(A|B)?
= P(B|A)·P(A) / P(B)。 P(A)を事前確率?
、P(A|B)を事後確率?
、P(B|A)を尤度?
と呼ぶの。

藍沢 しずく

事前と事後…時間の流れがあるんですかぁ?

紅林 かえで

情報を得る前と後、と捉えるといいわ。
情報Bを得たら、Aの確信度がどう変わるか、を計算するの。

白峰 リリ

具体例で見てみたい!

神楽 モニカ 先生

古典的な例ね。
ある病気の有病率は1%。
陽性率99%・偽陽性率5%の検査があるとするわ。
検査が陽性のとき、本当に病気である確率はどれくらいかしら?

紅林 かえで

P(病気)=0.01、P(陽性|病気)=0.99、P(陽性|健康)=0.05。 求めたいのは P(病気|陽性)。 P(陽性)=0.01×0.99 + 0.99×0.05 = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594。 よって P(病気|陽性)=(0.99×0.01)/0.0594=0.0099/0.0594≈0.167。 つまり16.7%。

藍沢 しずく

えぇっ、99%の検査でも陽性なら病気の確率は16.7%しかないんですかぁ?!

神楽 モニカ 先生

これがベイズの定理?
の直感に反する結論。
事前確率(有病率)が低いと、検査が陽性でも本当に病気である確率は意外と低くなるの。

白峰 リリ

なるほどね〜、だから医療では確認のために再検査するんだ!

紅林 かえで

DS検定では、この医療診断パターンの計算問題が頻出。
事前確率?
・尤度?
・全確率の公式?
をセットで使えるようにしておきましょう。

藍沢 しずく

計算はちょっとややこしそうですけど、やってることは『反転』なんですねぇ♪

医療診断の例:
  有病率 P(D) = 0.01
  陽性率 P(+|D) = 0.99   (病気のとき陽性となる率)
  偽陽性 P(+|¬D) = 0.05  (健康なのに陽性となる率)

陽性が出る全体確率(全確率の公式):
  P(+) = P(+|D)·P(D) + P(+|¬D)·P(¬D)
       = 0.99·0.01 + 0.05·0.99
       = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594

陽性のとき本当に病気の確率(ベイズの定理):
  P(D|+) = P(+|D)·P(D) / P(+)
         = 0.0099 / 0.0594
         ≈ 0.167   (約 16.7%)